Question

【题目】过轴上动点引抛物线的两条切线、， 、为切点，设切线、的斜率分别为和.

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求证：直线恒过顶点，并求出此定点坐标；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）直线过定点，证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设过与抛物线的相切的直线的斜率是，则该切线的方程为，将直线方程代入抛物线的方程化简得，由得，而都是方程的解，故；（Ⅱ）法1：设，由导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程并化简变形得切线方程为，切线方程为，又由于点在AP、AQ上，所以， ，则直线的方程是，则直线过定点.；法2：由（1）知P、Q的横坐标是方程的根，可设，由两点坐标求得PQ的方程并化简为即，由（1）知，所以直线的方程是，则直线过定点.

试题解析：（Ⅰ）设过与抛物线的相切的直线的斜率是，

则该切线的方程为： ，由得

，

则都是方程的解，故。

（Ⅱ）法1：设，

故切线的斜率是，方程是又，

所以方程可化为，

切线的斜率是，方程是又，

所以方程可化为，

又由于点在AP上，则，

又由于点在AQ上，则，

，

则直线的方程是，则直线过定点.

法2：设， 所以,

直线： ，

即，由（1）知，

所以，直线的方程是，则直线过定点.