题目内容
19．已知B1，B2是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$短轴上的两个端点，O为坐标原点，点A是椭圆长轴上的一个端点，点P是椭圆上异于B1，B2的任意一点，点Q与点P关于y轴对称，给出以下命题，其中所有正确命题的序号是①④⑤①当P点的坐标为$（-\frac{2a}{3}，\frac{a}{3}）$时，椭圆的离心率为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
②直线PB1，PB2的斜率之积为定值$-\frac{a^2}{b^2}$
③$\overrightarrow{P{B_1}}•\overrightarrow{P{B_2}}＜0$
④$\frac{{P{B_2}}}{{sin∠P{B_1}{B_2}}}$的最大值为$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a}$
⑤直线PB1，QB2的交点M在双曲线$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$上．
分析 对5个命题分别进行判断，即可得出结论．
解答 
解：①当P点的坐标为$（-\frac{2a}{3}，\frac{a}{3}）$时，$\frac{4}{9}+\frac{{a}^{2}}{9{b}^{2}}$=1，∴a=$\sqrt{5}$b，∴c=2b，∴椭圆的离心率为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，正确；
②设P（x0，y0），则PB1，PB2的斜率之积为$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}•\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，因此不正确；
③∵点P在圆x2+y2=b2外，∴x02+y02-b2＞0，∴$\overrightarrow{P{B}_{1}}•\overrightarrow{P{B}_{2}}$=（-x0，-b-y0）•（-x0，b-y0）=x02+y02-b2＞0，不正确；
④当点P在长轴的顶点上时，∠B1PB2最小且为锐角，设△PB1B2的外接圆半径为r，由正弦定理可得：2r=$\frac{2b}{sin∠{B}_{1}P{B}_{2}}$≤$\frac{\frac{2b}{2ab}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a}$，∴$\frac{{P{B_2}}}{{sin∠P{B_1}{B_2}}}$的最大值为$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a}$，正确；
⑤直线PB1的方程为：y+b=$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}$x，直线QB2的方程为：y-b=$\frac{{y}_{0}-b}{-{x}_{0}}$x，两式相乘化为$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$，∴直线PB1，QB2的交点M在双曲线$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$上，∴正确．
故答案为：①④⑤．
点评 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、正弦定理、三角形外接圆半径、直线相交问题、双曲线的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| A． | $\frac{π}{2}$ | B． | π | C． | 2π | D． | 与a的大小有关 |
| A． | x2+y2+4x-3y=0 | B． | x2+y2-4x-3y=0 | C． | x2+y2+4x-3y-4=0 | D． | x2+y2-4x-3y+8=0 |
（1）若a=-1，求f（x）≥g（x）的解集；
（2）若当x≥-$\frac{1}{2}$时，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{π}{2}$ | D． | $\frac{2π}{3}$ |