Question

8．已知函数f（x）=|x+a|+|2x+1|，g（x）=x+3．
（1）若a=-1，求f（x）≥g（x）的解集；
（2）若当x≥-$\frac{1}{2}$时，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=-1代入f（x），问题转化为解不等式|x-1|+|2x+1|≥x+3，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集即可；
（2）问题转化为：|x+a|≥2-x在x∈[-$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，通过去掉绝对值解出即可．

解答 解：（1）a=-1时：f（x）=|x-1|+|2x+1|，
由f（x）≥g（x），
得：|x-1|+|2x+1|≥x+3①，
x≥1时：①可化为：x-1+2x+1≥x+3，
解得：x≥$\frac{3}{2}$；
-$\frac{1}{2}$＜x＜1时：①可化为：-x+1+2x+1≥x+3，
得：2≥3，不合题意；
x≤-$\frac{1}{2}$时：①可化为：1-x-2x-1≥x+3，
解得：x≤-$\frac{3}{4}$；
综上，不等式的解集是（-∞，-$\frac{3}{4}$]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）；
（2）当x≥-$\frac{1}{2}$时，f（x）＞g（x）恒成立，
转化为：|x+a|≥2-x在x∈[-$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，
x+a≥0时：a≥2-2x，
而y_max=（2-2x）_max=3，
故a≥3，
x+a＜0时：a≤-2，
故a的范围是[3，+∞）∪（-∞，-2]．

点评 本题考察了解绝对值不等式问题，考察函数恒成立问题，是一道中档题．