Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O₁是上底面对角线A₁C₁、B₁D₁的交点，体对角线A₁C交截面AB₁D₁于点P，求证：O₁、P、A三点在同一条直线上．

Answer 1

【答案】分析：根据公理2，进行判断O₁、P、A三点共线；根据公理1可知M，O₁、P、A∈平面AB₁D₁，因此得到答案．
解答：证明：如图所示，
∵A₁C₁∩B₁D₁=O₁，∴O₁∈A₁C₁，O₁∈B₁D₁．
又∵A₁C₁?平面A₁C，B₁D₁?平面AB₁D₁，∴O₁∈平面A₁C，O₁∈平面AB₁D₁．
又∵A₁C∩平面AB₁D₁=P，∴P∈A₁C，P∈平面AB₁D₁．∴P∈平面A₁C．
又∵A∈平面A₁C，A∈平面AB₁D₁，
∴O₁、P、A三点都是平面AB₁D₁与平面A₁C的公共点，
∴O₁、P、A三点在同一条直线上．
点评：此题是个基础题．考查空间点、线、面的位置关系以及平面相交和平面的确定公理，考查学生对基础知识的记忆与理解程度．平面的基本性质公理2是证明三点共线的依据之一．