Question

如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=BC=1，BB₁=2，连接B₁C，过B点作B₁C．
的垂线交CC₁于E，交B₁C于F．
（I）求证：A₁C⊥平面EBD；
（Ⅱ）求直线DE与平面A₁B₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（法一）
（I）由正方形的性质可得AC⊥DB，而A₁C在平面ABCD内的斜线，由三垂线的逆定理可得A₁C⊥BD①，又A₁C在平面BB₁C₁C内的射影
B₁C⊥BE，同理可得BEA₁C⊥BE②由①②根据直线与平面垂直的判定定理可证
（II）由（I）可得EF⊥平面A₁B₁C，考虑连接DF，根据三垂线定理可得∠EDF即为直线ED与平面A₁B₁C所成的角，在直角三角形EDF中，求解∠EDF即可．
（法二）如图以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
（I）要证A₁C⊥平面EBD?

A1C

⊥

BE

， 

A1C

⊥

DE

?

A1C

•

BE

=0  ，

A1C

•

DE

=0，利用向量的数量积的坐标表示可证
（II）分别求解平面A₁B₁C的一个法向量为

m

，DE与平面A₁B₁C所成角转化为

DE

与

m

所成的角，代入公式cosθ=

m • DE

| m || DE |

可求

解答：法一：（I）证明：连接AC，由底面ABCD为正方形，得AC⊥DB．
∵AC是A₁C在平面ABCD内的射影，∴A₁C⊥BD
又∵A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，且A₁C在平面BB₁C₁C内的射影B₁C⊥BE，
∴A₁C⊥BE，又BE∩BD=B∴A₁C⊥平面EBD

（Ⅱ）解：连接DF，A₁D∵EF⊥B₁C，EF⊥A₁C
∴EF⊥平面A₁B₁C∴∠EDF即为直线ED与平面A₁B₁C所成的角
由条件AB=BC=1，BB₁=2
可知B1C=

5

，BF=

2 5

5

，B1F=

4 5

5

，CF=

5

5

EF=

FC•BF

B1F

=

5

10

，EC=

FC•BB1

B1F

=

1

2

∴ED=

EC2+CD2

=

5

2

∴sinEDF=

EF

ED

=

1

5

解法二：（I）证明：如图以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
则∵

A1C

•

BE

=1×0+1×1+(-2)×

1

2

=0，

A1C

•

DE

=1×1+1×0+(-2)×

1

2

=0
∴

A1C

⊥

BE

，

A1C

⊥

DE

，
即A₁C⊥BE，A₁C⊥DE∵BE∩DE=E∴A₁C⊥平面EBD；
（Ⅱ）解：设平面A₁B₁C的一个法向量为

m

=（x，y，z）
则

A1B1 •m=0 B1C •m=0

∴

x=0 y=2z

令z=1，得m=（0，2，1），又

ED

=(-1，0，-

1

2

)
设

ED

与

m

所成角为θ，则cosθ=

m• ED

|m|•| ED |

=-

1

5

．从而把直线
∴直线ED与平面A₁B₁C所成角的正弦值为

1

5

．

点评：本题主要考查了空间直线与平面的位置关系：垂直关系的判定定理的运用，直线与平面所成角的求解，在解决此类问题时，采用空间向量的方法，可以很容易寻求解题思路，但要注意直线与平面所成的角的范围．