Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=4，AA₁=4，点M是棱D₁C₁的中点．
（1）试用反证法证明直线AB₁与BC₁是异面直线；
（2）求直线AB₁与平面DA₁M所成的角（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（1）假设直线AB₁与BC₁不是异面直线，它们都在平面α上，推出平面ABB₁A₁和平面BCC₁B₁重合，这是矛盾，
（2）求出平面的一个法向量，直线和平面所成的角的余弦值等于直线与平面的法向量夹角的正弦值．

解答：证明：（1）（反证法）假设直线AB₁与BC₁不是异面直线．（1分）
设直线AB₁与BC₁都在平面α上，则A、B、B₁、C₁∈α．（3分）
因此，平面ABB₁A₁、平面BCC₁B₁都与平面α有不共线的三个公共点，
即平面ABB₁A₁和平面BCC₁B₁重合（都与平面α重合）．又长方体的相邻两个面不重合，这是矛盾，
于是，假设不成立．（6分）
所以直线AB₁与BC₁是异面直线．（7分）
解：（2）按如图所示建立空间直角坐标系，
可得有关点的坐标为D（0，0，0）、
A（4，0，0）、B（4，2，0），C（0，2，0），A₁（4，0，4），B₁（4，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）．于是，M（0，1，4），

DM

=(0，1，4)，

DA1

=(4，0，4)，

AB1

=(0，2，4)．（9分）

设平面DA₁M的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n  • DM =0 n  • DA1 =0

，即

y+4z=0 4x+4z=0

．
取z=-1，得x=1，y=4．（11分）
所以平面DA₁M的一个法向量为

n

=(1，4，-1)．
记直线AB₁与平面DA₁M所成角为θ，于是，sinθ=|

n  • AB1

| n  |•| AB1 |

|=

10

15

，θ=arcsin

10

15

．（13分）
所以，直线AB₁与平面DA₁M所成角为θ=arcsin

10

15

．（14分）

点评：本题考查用反证法证明2条直线是异面直线、及用向量法求直线和平面的夹角．