Question

4．如图，在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中，且AD∥BC，AD=DC=1，$SA=SC=SD=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）求三棱锥B-SAD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设O为AC的中点，连接OS，OD，推导出OS⊥AC，DO⊥AC，从而AC⊥平面SOD，由此能证明AC⊥SD．
（Ⅱ）三棱锥B-SAD的体积V_B-SAD=V_S-BAD，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）设O为AC的中点，连接OS，OD，
∵SA=SC，∴OS⊥AC，
∵DA=DC，∴DO⊥AC，
又OS，OD?平面SOD，且OS∩DO=O，AC⊥平面SOD，
又SD?平面SOD，∴AC⊥SD．…（6分）
解：（Ⅱ）∵O为AC的中点，在直角△ADC中，DA²+DC²=2=AC²，
则$AC=\sqrt{2}，OD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
在△ASC中，∵$SA=SC=\sqrt{2}$，O为AC的中点，
∴△ASC为正三角形，且$AC=\sqrt{2}，OS=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∵在△SOD中，OS²+OD²=SD²，∴△SOD为直角三角形，且∠SOD=90°，
∴SO⊥OD，又OS⊥AC，且AC∩DO=O，
∴SO⊥平面ABCD．…（10分）
∴三棱锥B-SAD的体积：
V_B-SAD=V_S-BAD=$\frac{1}{3}×{S}_{△BAD}×SO$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AD×CD×SO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想．