题目内容
如图，PA是⊙O的切线，切点为A过PA的中点M作割线交⊙0于点B和C，若∠BMP=110°，∠BPB=30°，则∠MPB=考点：与圆有关的比例线段
专题：立体几何
分析：由切割线定理，得MA2=MB•MC，再根据M为PA的中点，将MA换成MP，得到比例线段：
=
，所以△PMB∽△CMP，从而∠BPM=∠PCM，最后在△CMP中利用内角和为180°列式，可得∠MPB的大小为20°．
| MP |
| MB |
| MC |
| MP |
解答：
解：∵直线PA切圆O于点A
∴MA2=MB•MC
又∵M为PA的中点，
∴MP2=MA2=MB•MC，可得
=
，
∵∠PMB=∠CMP，
∴△PMB∽△CMP，可得∠BPM=∠PCM，
设∠BPM=∠PCM=α，则△CMP中，结合∠CMP=100°，∠BPC=40°，
得∠CMP+∠PCM+∠CPM=100°+α+（40°+α）=180°
解之得，α=20°
∴∠MPB的大小为20°．
故答案为：20°
∴MA2=MB•MC
又∵M为PA的中点，
∴MP2=MA2=MB•MC，可得
| MP |
| MB |
| MC |
| MP |
∵∠PMB=∠CMP，
∴△PMB∽△CMP，可得∠BPM=∠PCM，
设∠BPM=∠PCM=α，则△CMP中，结合∠CMP=100°，∠BPC=40°，
得∠CMP+∠PCM+∠CPM=100°+α+（40°+α）=180°
解之得，α=20°
∴∠MPB的大小为20°．
故答案为：20°
点评：本题给出圆的切线和割线，在已知两个角的度数情况下求未知角的度数，着重考查了三角形的相似、切割线定理和三角形内角和定理等知识，属于基础题．
练习册系列答案
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已知直线y=x+b，b∈[0，4]，则原点O到此直线的距离不大于
的概率是（ ）
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A、
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B、
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C、
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D、
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