Question

(本题满分14分)
已知正项数列满足：对任意正整数，都有成等差数列，成等比数列，且
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
(Ⅲ) 设如果对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）由已知，得 ①，  ② . 由②得③.
将③代入①得，对任意，有
即
是等差数列.                                                4分
（Ⅱ）设数列的公差为，
由经计算，得


                                  9分
（Ⅲ）由（1）得

不等式化为
即
设，则对任意正整数恒成立．
当，即时，不满足条件；
当，即时，满足条件；
当，即时，的对称轴为，关于递减，
因此，只需 解得
综上，                                                14分

略