Question

15．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用递推关系n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．即可得出．
（Ⅱ）利用裂项相消法解答．

解答 解：（Ⅰ）n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$-1=1；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-1-[$\frac{1}{2}$（n-1）²+$\frac{3}{2}$（n-1）-1]=n+$\frac{3}{2}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{n+\frac{3}{2}，n≥2}\end{array}\right.$，
（Ⅱ）由（1）可知，当n=1时，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{2}{7}$，
当n≥2时，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+\frac{3}{2}）（n+\frac{5}{2}）}$=$\frac{4}{（2n+3）（2n+5）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{2n+5}$），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{2}{7}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$+…+$\frac{1}{2n+3}$-$\frac{1}{2n+5}$）=$\frac{2}{7}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{2n+5}$）=$\frac{5}{14}$-$\frac{1}{4n+10}$

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用裂项相消求和法是解决本题的关键．