Question

1．点P在曲线y=-e^-x上，点Q在曲线y=lnx上，线段PQ的中点为M，O是坐标原点，则线段OM的长的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 考虑到两曲线关于直线y=-x对称，求线段OM的长的最小值，可转化为点P到直线y=-x的最近距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，从而得此距离．

解答 解：∵曲线y=-e^-x与y=lnx，其图象关于y=-x对称，
故线段OM的长的最小值，可转化为点P到直线y=-x的最近距离d
设曲线y=-e^-x上斜率为1的切线为y=x+b，
∵y′=e^-x，由e^x=1，得x=0，故切点坐标为（0，-1），即b=-1
∴d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴线段OM的长的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了函数图象的对称性，导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，转化化归的思想方法．