Question

11．从双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的左焦点F引圆x²+y²=4的切线l，切点为T，且l交双曲线的右支于点P，若点M是线段FP的中点，O为坐标原点，则|OM|-|TM|的值为$\sqrt{5}-2$．

Answer 1

分析 如图所示，设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，OM，OT．可得OT⊥FT，|FT|=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，|OM|=$\frac{1}{2}$|PF′|，又|PF|-|PF′|=2a=4，利用|MO|-|MT|=$\frac{1}{2}$|PF′|-（$\frac{1}{2}$|PF|-|FT|）即可得出．

解答 解：如图所示，设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，OM，OT．
∵OT⊥FT，
∴|FT|=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，|OM|=$\frac{1}{2}$|PF′|，
|PF|-|PF′|=2a=4，
∴|MO|-|MT|=$\frac{1}{2}$|PF′|-（$\frac{1}{2}$|PF|-|FT|）
=|FT|+$\frac{1}{2}$（|PF′|-|PF|）
=$\sqrt{5}-2$．
故答案为：$\sqrt{5}-2$．

点评 本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的中位线定理、圆的切线的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．