Question

f（x）=sinx+cosx+sinxcosx，x∈（0，

π

2

）的值域为

 

．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：令t=sinx+cosx，右边利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域确定出t的范围，将表示出的t两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，表示出sinxcosx，代入函数解析式值，整理后利用二次函数性质即可求出f（x）的值域．

解答： 解：令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∵x∈（0，

π

2

），即x+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴1＜

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，即1＜t≤

2

，
∴t²=1+2sinxcosx，即sinxcosx=

t2-1

2

，
∴f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=t+

t2-1

2

=

1

2

（t+1）²-1，
当t=1时，函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=

1

2

（t+1）²-1，取最小值1；
当t=

2

时，函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=

1

2

（t+1）²-1，取最大值

1+2 2

2

，
则函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域为（1，

1+2 2

2

]．
故答案为：（1，

1+2 2

2

]

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．