Question

20．若数列{b_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，则数列{nb_n}的前n项和T_n=（　　）

• A． 2-（$\frac{1}{2}$）^n-1
• B． 2-（$\frac{1}{2}$）ⁿ
• C． 2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$
• D． 2-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$

Answer 1

分析 利用等比数列的求和公式计算可知nb_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：∵数列{b_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴nb_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
故选：C．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．