Question

7．已知f（x）=x|x-a|（a∈R）．
（1）若a=1，解不等式f（x）＜2x；
（2）若对任意的x∈[1，4]，都有f（x）＜4+x成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，不等式即x（|x-1|-2）＜0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{|x-1|＜2}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{|x-1|＞2}\end{array}\right.$②．分别求得①和②的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得x∈[1，4]时，不等式|x-a|＜1+$\frac{4}{x}$ 恒成立，再根据当x=1、x=4时该不等式成立，求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，不等式f（x）＜2x，即x|x-1|＜2x，即x（|x-1|-2）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{|x-1|＜2}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{|x-1|＞2}\end{array}\right.$②．
解①求得0＜x＜3，解②求得x＜-1，故原不等式的解集为{x|0＜x＜3，或x＜-1}．
（2）∵对任意的x∈[1，4]，都有f（x）＜4+x成立，即x|x-a|＜x+4恒成立，即|x-a|＜1+$\frac{4}{x}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{|1-a|＜1+\frac{4}{1}}\\{|4-a|＜1+\frac{4}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-5＜a-1＜5}\\{-2＜a-4＜2}\end{array}\right.$，求得2＜a＜6，
即实数a的取值范围为（2，6）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．