Question

18．已知曲线C的极坐标方程为${ρ^2}=\frac{36}{{4{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，若P（x，y）是曲线C上的一个动点，则3x+4y的最大值为$\sqrt{145}$．

Answer 1

分析 由曲线C的极坐标方程，求出曲线C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.，0≤α＜2π$，由此能求出3x+4y的最大值．

解答 解：∵曲线C的极坐标方程为${ρ^2}=\frac{36}{{4{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，
∴4ρ²+5ρ²sin²θ=36，
∴4x²+9y²=36，即$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∵P（x，y）是曲线C上的一个动点，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.，0≤α＜2π$，
∴3x+4y=9cosα+8sinα=$\sqrt{145}$sin（α+γ），其中tanγ=$\frac{9}{8}$．
∴3x+4y的最大值为$\sqrt{145}$．

点评 本题考查代数式的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的性质及互化公式的合理运用．