题目内容
设
，
是不共线的两个非零向量，记
=ma，
=nb，
=αa+βb，其中m，n，α，β均为实数，m≠0，n≠0，若M、P、N三点共线，则
+
= ．
| a |
| b |
| OM |
| ON |
| OP |
| α |
| m |
| β |
| n |
考点：基本不等式
专题：平面向量及应用
分析：M、N、P三点共线，则存在实数λ，使得
=λ
，利用向量的运算可得
=
+
，由于
，
不共线，可得
，即可得出．
| MP |
| PN |
| OP |
| m |
| 1+λ |
| a |
| λn |
| 1+λ |
| b |
| a |
| b |
|
解答：
解：若M、N、P三点共线，则存在实数λ，使得
=λ
，
∴
-
=λ(
-
)，
化为(1+λ)
=
+λ
，
∴
=
=
+
，
∵
，
不共线，
∴
，
∴
+
=
+
=1．
故答案为：1．
| MP |
| PN |
∴
| OP |
| OM |
| ON |
| OP |
化为(1+λ)
| OP |
| OM |
| ON |
∴
| OP |
| ||||
| 1+λ |
| m |
| 1+λ |
| a |
| λn |
| 1+λ |
| b |
∵
| a |
| b |
∴
|
∴
| α |
| m |
| β |
| n |
| 1 |
| 1+λ |
| λ |
| 1+λ |
故答案为：1．
点评：本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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