Question

（2013•合肥二模）已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+

1

x

+2的图象关于点A（0，1）对称．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）=x²•[f（x）-a]，且g（x）在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先设f（x）的图象上任一点P（x，y），再由点点对称求出对称的坐标，由题意把对称点的坐标代入h（x）的解析式，进行整理即可；
（II）由（I）求出g（x）的解析式，再求出导数，将条件转化为：3x²-2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立，再分离出常数a，利用函数y=3x+

1

x

在区间[1，2]上的单调性求出函数的最小值，再求出a的范围．

解答：解：（I）设f（x）的图象上任一点P（x，y），
则点P关于点A（0，1）对称P′（-x，2-y）在h（x）的图象上，
∴2-y=-x-

1

x

+2，得y=x+

1

x

，即f（x）=x+

1

x

，
（II）由（I）得，g（x）=x²•[f（x）-a]=x²•[x+

1

x

-a]=x³-ax²+x，
则g′（x）=3x²-2ax+1，
∵g（x）在区间[1，2]上为增函数，
∴3x²-2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立，
即a≤

1

2

（3x+

1

x

）在区间[1，2]上恒成立，
∵y=3x+

1

x

在区间[1，2]上递增，故此函数的最小值为y=4，
则a≤

1

2

×4=2．

点评：本题考查了利用轨迹法求函数解析式，导数与函数单调性、最值问题，以及恒成立问题，考查了转化思想．