Question

（2013•合肥二模）过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0），作倾斜角为

π

6

的直线FE交该双曲线右支于点P，若

OE

=

1

2

（

OF

+

OP

），且

OE

•

EF

=0则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  10

  5

• B．

  3

  +1
• C．

  10

  2

• D．

  2

Answer 1

分析：判断出E为PF的中点，据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点；利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF；通过勾股定理得到a，c的关系，求出双曲线的离心率．

解答：解：在Rt△PFF′中，OE=

1

2

OF=

1

2

c．
∵

OE

=

1

2

（

OF

+

OP

），
∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，
则PF′=2OE=c，
∵

OE

•

EF

=0，
∴OE⊥PF
∴PF′⊥PF
∵PF-PF′=2a
∴PF=PF′+2a=2a+c
在Rt△PFF′中，PF²+PF′²=FF′²
即（2a+c）²+c²=4c²
⇒所以离心率e=

c

a

=

3

+1．
故选B．

点评：本小题主要考查双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，属于基础题．