题目内容
（2013•合肥二模）在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 bsinAcosB=（2c-b）sinBcosA．
（I）求角A；
（II）已知向量
=（sinB，cosB），
=（cos2C，sin2C），求|
+
|的取值范围．
（I）求角A；
（II）已知向量
| m |
| n |
| m |
| n |
分析：（I）在锐角△ABC 中，由 bsinAcosB=（2c-b）sinBcosA利用正弦定理可得 sinBsin（A+B）=2sinCsinBcosA，解得cosA=
，从而求得A的值．
（Ⅱ）由题意可得
+
=（sinB+cos2C，cosB+sin2C），(
+
)2=（sinB+sin2C）2+（cosB+cos2C）2=2+2sin（
+C）．由
＜C＜
，再根据正弦函数的定义域和值域求得 2+2sin（
+C）的范围，从而求得|
+
|的取值范围．
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）由题意可得
| m |
| n |
| m |
| n |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| m |
| n |
解答：解：（I）在锐角△ABC 中，由 bsinAcosB=（2c-b）sinBcosA利用正弦定理可得
sinBsinAcosB=2sinCsinBcosA-sinBsinBcosA，
故有sinBsin（A+B）=2sinCsinBcosA，解得cosA=
，∴A=
．
（Ⅱ）由题意可得
+
=（sinB+cos2C，cosB+sin2C），(
+
)2=（sinB+sin2C）2+（cosB+cos2C）2=2+2sin（B+2C）=2+2sin（
+C）．
由于
＜C＜
，∴
＜
+C＜
，
∴-
＜sin（
+C）＜
，∴1＜2+2sin（
+C）＜3，
故|
+
|的取值范围为（1，
）．
sinBsinAcosB=2sinCsinBcosA-sinBsinBcosA，
故有sinBsin（A+B）=2sinCsinBcosA，解得cosA=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由题意可得
| m |
| n |
| m |
| n |
| 2π |
| 3 |
由于
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| 7π |
| 6 |
∴-
| 1 |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
故|
| m |
| n |
| 3 |
点评：本题主要考查正弦定理、三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求向量的模的方法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目