Question

4．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₄=24，S₇=63．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=2^a_n+a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（II）b_n=2^a_n+a_n=2×4ⁿ+（2n+1），再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵{a_n}为等差数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{S_4}=4{a_1}+\frac{4×3}{2}d=24\\{S_7}=7{a_1}+\frac{7×6}{2}d=63\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ d=2\end{array}\right.⇒{a_n}=2n+1$．
（Ⅱ）∵${b_n}={2^{a_n}}+{a_n}={2^{2n+1}}+（2n+1）$=2×4ⁿ+（2n+1），
∴${T_n}=2（4+{4^2}+…+{4^n}）$+（3+5+…+2n+1）=$2×\frac{{4（1-{4^n}）}}{1-4}+\frac{n（3+2n+1）}{2}$=$\frac{8}{3}（{4^n}-1）+{n^2}+2n$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．