Question

若正数x，y满足log₂（x+y）=-1，则log

1

2

(

1

x

+

1

y

)有（　　）

A．最大值-3

B．最小值-3

C．最小值1

D．最大值1

Answer 1

分析：log_2由（x+y）=-1可得x+y=

1

2

，则

1

x

+

1

y

=

2(x+y)

x

+

2(x+y)

y

，利用基本不等式可求

1

x

+

1

y

的最小值，进而可求log

1

2

(

1

x

+

1

y

)的最大值

解答：解：∵log₂（x+y）=-1，x＞0，y＞0
∴x+y=

1

2

∴

1

x

+

1

y

=

2(x+y)

x

+

2(x+y)

y

=4+

2y

x

+

2x

y

≥4+2

2y x • 2x y

=8
当且仅当

2y

x

=

2x

y

即x=y=

1

4

时取等号
则log

1

2

(

1

x

+

1

y

)≤log

1

2

8=-3
故log

1

2

(

1

x

+

1

y

)有最大值-3
故选A

点评：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，求解的关键是1的代换

1

x

+

1

y

=

2(x+y)

x

+

2(x+y)

y

，还要注意对数函数单调性的应用．