Question

设正数x，y满足log₂（x+y+3）=log₂x+log₂y，则x+y的取值范围是（　　）

• A．（0，6]
• B．[6，+∞）
• C．[1+

  7

  ，+∞）
• D．（0，1+

  7

  ]

Answer 1

分析：由正数x，y满足log₂（x+y+3）=log₂x+log₂y，利用对数的运算性质可得x+y+3=xy，利用基本不等式可得xy≤(

x+y

2

)2，即x+y+3≤

(x+y)2

4

．当且仅当x=y＞0时取等号．利用一元二次不等式的解法解出即可．

解答：解：由正数x，y满足log₂（x+y+3）=log₂x+log₂y，∴x+y+3=xy，
而xy≤(

x+y

2

)2，则x+y+3≤

(x+y)2

4

．当且仅当x=y＞0时取等号．
令x+y=t，则t+3≤

t2

4

化为t²-4t-12≥0，解得t≥6或t≤-2．
∵t＞0，∴取t≥6．
故选B．

点评：熟练掌握对数的运算性质、基本不等式的性质、一元二次不等式的解法是解题的关键．