Question

设正数x，y满足log₂（x+y+3）=log₂x+log₂y，则x+y的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题设知x+y+3=xy，再由x²-2xy+y²≥0，得到x²+2xy+y²≥4xy，所以xy≤

(x+y)2

4

，设x+y=a，由此可求出x+y的取值范围．

解答：解：∵正数x，y满足log₂（x+y+3）=log₂x+log₂y，
∴log₂（x+y+3）=log₂xy，
∴x+y+3=xy，
又x²-2xy+y²≥0，
所以左右加上4xy得到x²+2xy+y²≥4xy，
所以xy≤

(x+y)2

4

，
由x+y+3=xy得到x+y+3≤

(x+y)2

4

，
设x+y=a即4a+12≤a²，
解得a为（-∞，-2]或[6，+∞）．
根据定义域x，y均大于零所以x+y取值范围是[6，+∞）．
故答案为：[6，+∞）．

点评：本题考查对数的运算法则，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．