Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R恒有f（x+1）=f（x-1）-f（2），且当x∈（1，2）时，f（x）=x²-3x+1，则f（

1

2

）=

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由奇函数的结论得：f（0）=0，再令x=1代入所给的式子求出f（2）的值，再令x=-

1

2

代入式子化简，结合奇函数的性质和条件求出f（

1

2

）的值．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），且f（0）=0，
令x=1代入f（x+1）=f（x-1）-f（2）得，
f（2）=f（0）-f（2），解得f（2）=0，
令x=-

1

2

代入f（x+1）=f（x-1）-f（2）得，
f（

1

2

）=f（-

3

2

）-f（2）=f（-

3

2

），
∵当x∈（1，2）时，f（x）=x²-3x+1，f（-x）=-f（x），
∴f（

1

2

）=f（-

3

2

）=-f（

3

2

）=-（

9

4

-

9

2

+1）=

5

4

，
故答案为：

5

4

．

点评：本题考查了奇函数的性质的应用，以及赋值法求函数值，注意需要根据条件选取恰当的值进行求解．