Question

【题目】已知被直线， 分成面积相等的四个部分，且截轴所得线段的长为2．　

（1）求的方程；

（2）若存在过点的直线与相交于， 两点，且点恰好是线段的中点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）被直线， 分成面积相等的四个部分说明圆心在直线的交点，再根据截得x轴线段长求出半径即可；（2）根据平面几何知识知，“点是线段的中点”等价于“圆上存在一点使得的长等于的直径”，转化为，即，从而求解.

试题解析：

（1）设的方程为，

因为被直线分成面积相等的四部分，

所以圆心一定是两直线的交点，

易得交点为，所以.

又截x轴所得线段的长为2，所以.

所以的方程为.

（2）法一：如图， 的圆心，半径，

过点N作的直径，连结.

当与不重合时， ，

又点是线段的中点；

当与重合时，上述结论仍成立.

因此，“点是线段的中点”等价于“圆上存在一点使得的长等于的直径”.

由图可知，即，即.

显然，所以只需，即，解得.

所以实数的取值范围是.

法二：如图， 的圆心，半径，连结，

过作交于点，并设.

由题意得，

所以，

又因为，所以，

将代入整理可得，

因为，所以，，解得.