题目内容
【题目】已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为
，右焦点
，双曲线的实轴为
，
为双曲线上一点（不同于
，
），直线
，
分别与直线
交于
，
两点．
（
）求双曲线的方程．
（
）证明
为定值．
【答案】（
）
．（
）见解析.
【解析】试题分析：(Ⅰ)先设双曲线方程为:
,根据题意可得关于a、b的方程组,解可得答案.
(Ⅱ)根据题意,易得
、
、
, 设
，
,易得向量
，
,又由共线向量的坐标运算,可得M的坐标,进而可得N的坐标,由此可得:
的坐标,即可得
,结合双曲线的方程,代换可得证明.
试题解析：（）依题意可设双曲线方程为：，
则
，
∴所求双曲线方程为
．
（）、、，
设，，，，
∵
、
、
三点共线，
∴
，
∴
即
，
同理得
，
，
，
则，
∵，
∴
．
∴
即
（定值）．
点睛;定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
练习册系列答案
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编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x | 169 | 178 | 166 | 175 | 180 |
y | 75 | 80 | 77 | 70 | 81 |
(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量．
(2)当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值．
