Question

【题目】已知，函数.

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；

（Ⅲ）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 解集为;(2) 或;(3) 的取值范围是.

【解析】试题分析：

（1）根据题意将不等式化为指数不等式求解．（2）由题意可得方程只有一个解，即只有一解，令，则上只有一解，分离参数后并结合图象求解即可．（3）先征得函数在定义域内单调递减，从而可得在区间上的最大值、最小值，由题意得恒成立，整理得恒成立．令，可得恒成立，求得函数在上的最大值后解不等式可得的范围．

试题解析：

（1）当时， ，

∴，

整理得，解得．

∴原不等式的解集为.

（2）方程，

即为，

∴，

∴，

令，则，

由题意得方程在上只有一解，

令, ,

结合图象可得，当或时，直线的图象只有一个公共点，即方程只有一个解．

∴实数的范围为.

（3）∵函数在上单调递减，

∴函数在定义域内单调递减，

∴函数在区间上的最大值为，最小值为，

∴

由题意得，

∴恒成立，

令，

∴恒成立，

∵在上单调递增，

∴

∴，

解得，

又，

∴．

∴实数的取值范围是.