Question

【题目】如图，三棱柱中，底面为正三角形， 底面，且， 是的中点.

（1）求证： 平面；

（2）求证：平面平面；

（3）在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）连接交于点，连，由三角形中位线的性质得，再根据线面平行的判定可得结论。（2）先证平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面。（3）假设存在点满足题意，不妨设,由可得，从而可得点确实存在，且。

试题解析：

（1）如图,连接交于点，连。

由题意知,在三棱柱中,平面,

∴四边形为矩形,

∴点为的中点.

∵ 为的中点,

∴.

∵ 平面,平面.

∴ 平面.

（2）∵底面为正三角形,是的中点,

∴,

∵ 平面,平面,

∴ .

∵ ,

∴ 平面,

∵ 平面,

∴平面平面.

（3）假设在侧棱上存在一点,使三棱锥的体积是.

设。

∵ ,,

∴ ,

即,

解得,

即.

∵ ,

∴ 在侧棱上存在一点,使得三棱锥的体积是,此时.