Question

【题目】如图，已知某市穿城公路自西向东到达市中心后转向东北方向，，现准备修建一条直线型高架公路，在上设一出入口，在上设一出入口，且要求市中心到所在的直线距离为.

（1）求，两出入口间距离的最小值；

（2）在公路段上距离市中心点处有一古建筑（视为一点），现设立一个以为圆心，为半径的圆形保护区，问如何在古建筑和市中心之间设计出入口，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）过点O作于点E，则OE=10，设，则，，然后由，结合，利用三角函数的性质求解.，

（2）以O为原点建立平面直角坐标系，得到圆C的方程为：，设直线AB的方程为：，根据题意由，且求解.

（1）如图所示：

过点O作于点E，则OE=10，设，

则，，

所以，

而，

，

所以当时，.

（2）以O为原点建立平面直角坐标系，

则圆C的方程为：，

设直线AB的方程为：，

由题意得：，且，

所以，代入，

化简得：，

解得或（舍去），

因为，所以，

所以，

当时，，

所以.