Question

15．若α∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]，β∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{8}$]，且满足$\left\{\begin{array}{l}{{α}^{3}+sinα-2k=0}\\{4{β}^{3}+sinβcosβ+k=0}\end{array}\right.$，k∈R，则cos（α+2β）的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可知-2β和α是方程 x³+sinx-2k=0的两个实数解，再由函数的单调性可知方程 x³+sinx-2k=0在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上只有一个解，即α=-2β，问题得以解决．

解答 解：∵4β³+sinβcosβ+k=0，
∴（-2β）³-2sinβcosβ-2k=0，即（-2β）³+sin（-2β ）-2k=0．
∵α³+sinα-2k=0，
∴-2β和α是方程 x³+sinx-2k=0的两个实数解．
∵α∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]，β∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{8}$]，
∴-2β∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∵函数y=x³+sinx 在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上单调递增，
∴方程 x³+sinx-2k=0在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上只有一个解，
∴α=-2β，
∴cos（a+2β）=cos0=1，
故选：C．

点评 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，式子的变形是解题的关键，属于中档题．