Question

P为椭圆上一点，左、右焦点分别为F₁，F₂．
（1）若PF₁的中点为M，求证；
（2）若∠F₁PF₂=60°，求|PF₁|•|PF₂|之值；
（3）求|PF₁|•|PF₂|的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△F₁PF₂中，MO为中位线，根据三角形的中位线定理再结合椭圆的定义即可得出答案．
（2）先利用椭圆的定义得|PF₁|+|PF₂|=10，在△PF₁F₂中利用余弦定理得cos 60°=，两者结合即可求得|PF₁|•|PF₂|．
（3）由点P（x，y）处的焦半径公式|PF₁|=5+x，|PF₂|=5-x，知|PF₁|•|PF₂|=25-，再由|x|≤5，能求出|PF₁|•|PF₂|的最值．
解答：（1）证明：在△F₁PF₂中，
∵MO为中位线，
∴|MO|===a-=5-|PF₁|…．（3分）
（2）解：∵|PF₁|+|PF₂|=10，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100-2|PF₁|•|PF₂|，
在△PF₁F₂中，cos 60°=，
∴|PF₁|•|PF₂|=100-2|PF₁|•|PF₂|-36，
∴|PF₁|•|PF₂|=．…（8分）
（3）解：由点P（x，y）处的焦半径公式|PF₁|=5+x，|PF₂|=5-x，
∴|PF₁|•|PF₂|=25-，
∵|x|≤5，∴0≤x²≤25，
∴16≤|PF₁|•|PF₂|≤25．
∴|PF₁|•|PF₂|的最小值为16，|PF₁|•|PF₂|的最大值为25．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，具体涉及到椭圆的简单性质、余弦定理、焦半径等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．