题目内容
已知函数f（x）=loga
+m（a＞0且a≠1）是奇函数
（1）求m的值；
（2）讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性，并予以证明．
| x+1 |
| x-1 |
（1）求m的值；
（2）讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性，并予以证明．
考点：对数函数图象与性质的综合应用
专题：函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：（1）根据奇函数的定义f（-x）=-f（x）便可求出m；
（2）先求f′（x）=
，讨论a的取值判断f′（x）的符号，从而判断出函数f（x）在（1，+∞）上的单调性．
（2）先求f′（x）=
| -2 |
| (x+1)(x-1)lna |
解答：
解：（1）f（-x）=loga
+m=-loga
+m=-loga
-m；
∴m=0；
（2）f′（x）=
；
若0＜a＜1，则lna＜0；
∴f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，+∞）是单调递增函数；
若a＞1，则lna＞0；
∴f′（x）＜0；
∴f（x）在（1，+∞）上是单调递减函数．
| -x+1 |
| -x-1 |
| x+1 |
| x-1 |
| x+1 |
| x-1 |
∴m=0；
（2）f′（x）=
| -2 |
| (x+1)(x-1)lna |
若0＜a＜1，则lna＜0；
∴f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，+∞）是单调递增函数；
若a＞1，则lna＞0；
∴f′（x）＜0；
∴f（x）在（1，+∞）上是单调递减函数．
点评：考查奇函数的定义，及通过判断导数符号来判断函数单调性的方法，并且正确求出f′（x）是求解本题的关键．
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