题目内容

17．.有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次．规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为$\frac{2}{5}$，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为$\frac{1}{2}$，且各场次胜负情况彼此没有影响．
（1）甲队至少胜一场的概率；  
（2）求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望．

分析 （1）甲队至少胜一场的对立事件是甲三场比赛全负，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲队至少胜一场的概率．
（2）由题意知球队甲赛后积分ξ的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）∵球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为$\frac{2}{5}$，
与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为$\frac{1}{2}$，
且各场次胜负情况彼此没有影响．
甲队至少胜一场的对立事件是甲三场比赛全负，
∴甲队至少胜一场的概率p=1-（1-$\frac{2}{5}$）（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{17}{20}$．
（2）由题意知球队甲赛后积分ξ的可能取值为3，4，5，6，
P（ξ=3）=（1-$\frac{2}{5}$）（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{20}$，
P（ξ=4）=$\frac{2}{5}$（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$）+（1-$\frac{2}{5}$）×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）+（1-$\frac{2}{5}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=5）=$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）+（1-$\frac{2}{5}$）×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{20}$，
P（ξ=6）=$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$$\frac{1}{10}$，
∴ξ的分布列为：

ξ3456
P$\frac{3}{20}$$\frac{2}{5}$$\frac{7}{20}$$\frac{1}{10}$
$Eξ=3×\frac{3}{20}+4×\frac{2}{5}+5×\frac{7}{20}+6×\frac{1}{10}=4.4$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的求法及应用，考查考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．

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