Question

12．已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F₁，F₂，抛物线C以F₁为顶点，F₂为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e|$\overrightarrow{P{F_2}}$|=|$\overrightarrow{P{F_1}}$|，则e的值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． 不能确定

Answer 1

分析 利用椭圆的第二定义及e|$\overrightarrow{P{F_2}}$|=|$\overrightarrow{P{F_1}}$|，求得丨PT丨=丨PF₂丨，则（-c）-（-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=c-（-c），即可求得a与c的关系，即可求得e的值．

解答 解：作PT垂直椭圆准线l于T，则由椭圆第二定义：丨PF₁丨：丨PT丨=e
又$\frac{丨\overrightarrow{P{F}_{1}}丨}{丨\overrightarrow{P{F}_{2}}丨}$=e，
故丨PT丨=丨PF₂丨，
由抛物线定义知l为抛物线准线
故F₁到l的距离等于F₁到F₂的距离，
即（-c）-（-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=c-（-c），整理得：a=$\sqrt{3}$c，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选C．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆的第二定义，考查数形结合思想，属于中档题．