Question

如图，椭圆=1的两焦点F₁，F₂与短轴两端点B₁，B₂构成∠B₂F₁B₁为120°，面积为的菱形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆相交于M，N两点（M，N不是左右顶点），且以MN为直径的圆过椭圆右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知∠B₂F₁B₁为=120°，及菱形F₁B₁F₂B₂的面积可得，从而可求b，c，再由a=可求，可求椭圆方程
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由 整理，结合方程的根与系数的关系可得，x₁+x₂=，x₁•x₂=，且△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，而以MN为直径的圆过椭圆的右顶点A可得即x₁x₂+y₁y₂=0，代入可得m，k之间的关系，代入直线方程可知直线所过的定点
解答：解：（Ⅰ）∵∠B₂F₁B₁为=120°
∴∠B₁F₁O=60°

∵菱形F₁B₁F₂B₂的面积
bc=
即   
∴，
由a==2
故椭圆方程为．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由 得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
则x₁+x₂=，x₁•x₂=，
且△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，即3+4k²-m²＞0
∵以MN为直径的圆过椭圆的右顶点A
∴AM⊥AN即
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
又y₁y₂=（kx₁+m）•（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=，
∴+++4=0，
化简得，7m²+4k²+16mk=0
解得m=-2k或m=-且均满足3+4k²-m²＞0
当m=-2k时，L：y=k（x-2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；
当m=-时，L；y=k（x-），直线过定点
综上，直线l过定点，定点坐标为（）
点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，利用直线的点斜式求解直线所过的定点，属于直线与曲线的综合性试题