题目内容

精英家教网如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
y2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与轴垂直的
直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，动点P满足
PA
•
AB
=m-4，（m∈R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．
分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义和简单性质，求出a 和b2的值，即得椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x，y），由
PA
•
AB
=m-4，求得 y=2x+m，求出点B关于P的轨迹的对称点B′的坐标，并代入椭圆方程，解出 m值，即得点P的轨迹方程．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得|MF2|=
1
2
，由椭圆的定义得：|MF1|+
1
2
=2a．
∵|MF1|2=4c2+
1
4
，∴(2a-
1
2
)2=4c2+
1
4
，又 e=
3
2
得 c2=
3
4
a2，
∴4a2-2a=3a2，∴a=2．
∴b2=a2-c2=
a2
4
=1，∴所求椭圆C的方程为 
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知点A（-2，0），点B为（0，-1），设点P的坐标为（x，y），
则
PA
=（-2-x，-y），
AB
=（2，-1），由
PA
•
AB
=m-4 得-4-2x+y=m-4，
∴点P的轨迹方程为 y=2x+m．
设点B关于P的轨迹的对称点为B′（x0，y0），则由轴对称的性质可得：
y0+1
x0
=-
1
2
，
y0-1
2
=2•
x0
2
+m，
解得：x0=
-4-4m
5
，y0=
2m-3
5
，∵B′（x0，y0） 在椭圆上，
∴(
-4-4m
5
)2+4(
2m-3
5
)2=4，整理得 2m2-m-3=0解得 m=-1或 m=
3
2
．
∴点P的轨迹方程为 y=2x-1或 y=2x+
3
2
，经检验  y=2x-1和 y=2x+
3
2
，都符合题设，
∴满足条件的点P的轨迹方程为 y=2x-1，或 y=2x+
3
2
．
点评：本题考查椭圆的定义、标准方程和简单性质，求点的轨迹方程的方法，利用椭圆的对称性求出m值是解题的关键．
练习册系列答案
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（1）若3k=
2ac
a2+c2-b2
，求cos2
A+C
2
+sin2B的值；
（2）若k=2，记∠xOA=α(0＜α＜
π
2
)，∠xOB=β(π＜β＜
3π
2
)，求sin(α+β)的值．
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15
4
，左顶点A（-4，0），圆O'：（x-2）2+y2=r2是椭圆G的内接△ABC的内切圆．
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（Ⅱ）求圆O'的半径r；
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π
6
，
π
2
)．将角α的终边按逆时针方向旋转
π
3
，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若x1=
1
3
，求x2；
（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．
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π
3
，
π
2
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π
6
，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若x1=
1
4
，求x2； 
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3
x+3y=0（x≥0），过点P（a，0）（a＞0）作直线l分别交射线OA，OB于A，B两点，且
AP
=2
PB
，则直线l的斜率为
 
．

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