题目内容

如图所示，椭圆C： 的离心率，左焦

点为右焦点为，短轴两个端点为.与轴不垂直的直线与

椭圆C交于不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，且．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求证直线 与轴相交于定点，并求出定点坐标.

（3）当弦 的中点落在内（包括边界）时，求直线的斜率的取值。

解：（1）由题意可知：椭圆C的离心率，

故椭圆C的方程为．
（2）设直线的方程为，M、N坐标分别为
由得
∴
∵．
∴
将韦达定理代入，并整理得，解得．
∴直线 与轴相交于定点（0，2）

（3）由（2）中，其判别式，得．①
设弦AB的中点P坐标为，则，

弦 的中点落在内（包括边界）

  将坐标代入，整理得 

解得 ②由①②得所求范围为

练习册系列答案
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精英家教网如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2，短轴两个端点为A、B．已知|
OB
|、|
F1B
|、
|F1F2
|成等比数列，|
F1B
|-
|F1F2
|=2，与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1•k2=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标；
（Ⅲ）当弦MN的中点P落在四边形F1AF2B内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
如图所示，椭圆C：
 x2   
b2
+
y2    
a2
=1(a＞b＞0)的焦点为F1（0，c），F2（0，-c）（c＞0），抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且
F2B
=λ
AF2
．
（1）求证：切线l的斜率为定值；
（2）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点为 F（1，0），且过点(
2
，
6
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
（ⅱ）求△AMN面积的最大值．
（2010•茂名二模）如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
5
5
，且A（0，1）是椭圆C的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A作斜率为1的直线l，在直线l上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

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