题目内容
如图,在直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,左右两个焦分别为F1、F2.过右焦点F2且与轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点,且|MN|=1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的左顶点为A,下顶点为B,动点P满足=m-4,(m∈R)试求点P的轨迹方程,使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上.
【答案】分析:(Ⅰ)利用椭圆的定义和简单性质,求出a 和b2的值,即得椭圆的标准方程.
(Ⅱ)设点P的坐标为(x,y),由 =m-4,求得 y=2x+m,求出点B关于P的轨迹的对称点B′的坐标,并代入椭圆方程,解出 m值,即得点P的轨迹方程.
解答:解:(Ⅰ)由题意可得|MF2|=,由椭圆的定义得:|MF1|+=2a.
∵|MF1|2=4c2+,∴=4c2+,又 e=得 ,
∴4a2-2a=3a2,∴a=2.
∴b2=a2-c2==1,∴所求椭圆C的方程为 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知点A(-2,0),点B为(0,-1),设点P的坐标为(x,y),
则=(-2-x,-y),=(2,-1),由 =m-4 得-4-2x+y=m-4,
∴点P的轨迹方程为 y=2x+m.
设点B关于P的轨迹的对称点为B′(x,y),则由轴对称的性质可得:=-,,
解得:x=,y=,∵B′(x,y) 在椭圆上,
∴+4=4,整理得 2m2-m-3=0解得 m=-1或 m=.
∴点P的轨迹方程为 y=2x-1或 y=2x+,经检验 y=2x-1和 y=2x+,都符合题设,
∴满足条件的点P的轨迹方程为 y=2x-1,或 y=2x+.
点评:本题考查椭圆的定义、标准方程和简单性质,求点的轨迹方程的方法,利用椭圆的对称性求出m值是解题的关键.
(Ⅱ)设点P的坐标为(x,y),由 =m-4,求得 y=2x+m,求出点B关于P的轨迹的对称点B′的坐标,并代入椭圆方程,解出 m值,即得点P的轨迹方程.
解答:解:(Ⅰ)由题意可得|MF2|=,由椭圆的定义得:|MF1|+=2a.
∵|MF1|2=4c2+,∴=4c2+,又 e=得 ,
∴4a2-2a=3a2,∴a=2.
∴b2=a2-c2==1,∴所求椭圆C的方程为 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知点A(-2,0),点B为(0,-1),设点P的坐标为(x,y),
则=(-2-x,-y),=(2,-1),由 =m-4 得-4-2x+y=m-4,
∴点P的轨迹方程为 y=2x+m.
设点B关于P的轨迹的对称点为B′(x,y),则由轴对称的性质可得:=-,,
解得:x=,y=,∵B′(x,y) 在椭圆上,
∴+4=4,整理得 2m2-m-3=0解得 m=-1或 m=.
∴点P的轨迹方程为 y=2x-1或 y=2x+,经检验 y=2x-1和 y=2x+,都符合题设,
∴满足条件的点P的轨迹方程为 y=2x-1,或 y=2x+.
点评:本题考查椭圆的定义、标准方程和简单性质,求点的轨迹方程的方法,利用椭圆的对称性求出m值是解题的关键.
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