Question

已知定义在（-∞，4）上的减函数f（x），使得f（m-sinx）≤f（

1+2m

-

7

4

+cos²x）对于一切实数均成立，求实数m的范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：通过已知条件容易得到不等式组

m-sinx＜4 1+2m - 7 4 +cos2x＜4 m-sinx≥ 1+2m - 7 4 +cos2x

，该不等式组对于一切实数都成立，要求m的范围，所以想着将该不等式组变成

m＜sinx+4 1+2m ＜-cos2x+ 23 4 m- 1+2m ≥-sin2x+sinx- 3 4

．所以接下来求函数sinx+4，-cos2x+

23

4

在R上的最小值，求函数-sin2x+sinx-

3

4

在R上的最大值，便可得到

m＜3 1+2m ＜ 19 4 m- 1+2m ≥- 1 2

，解该不等式组即得m的范围．

解答： 解：根据已知条件得：

m-sinx＜4 1+2m - 7 4 +cos2x＜4 m-sinx≥ 1+2m - 7 4 +cos2x

，即不等式组

m＜sinx+4 1+2m ＜-cos2x+ 23 4 m- 1+2m ≥-sin2x+sinx- 3 4

在R上恒成立；
∵sinx+4在R上的最小值为3，-cos2x+

23

4

在R上的最小值为

19

4

；
∵-sin2x+sinx-

3

4

=-(sinx-

1

2

)2-

1

2

；
∴sinx=

1

2

时，-sin2x+sinx-

3

4

的最大值为-

1

2

；
∴

m＜3 1+2m ＜ 19 4 m- 1+2m ≥- 1 2

，解得：

3

2

≤m＜3，或m=-

1

2

；
∴实数m的范围为{m|

3

2

≤m＜3，或m=-

1

2

}．

点评：考查函数的定义域，及减函数的定义，以及当含有参数的不等式在某一区间上恒成立时求参数范围的方法，以及解无理不等式．