Question

【题目】如图，等腰直角中是直角，平面平面，，，.

（1）求证；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）由及为直角可得到，结合已知条件命题得证。

（2）作，连结.由（1）得： ，作，再证得：平面，则即为所求线面角. 解三角形BFH即可。

解：（1）证明：直角中∠B是直角，即，

， ，

，，

又，.

（2）方法一：作，连结.

由（1）知平面，

得到，又，所以平面.

又因为平面，所以平面 平面.

作于点H，易得平面，

则即为所求线面角.

设，由已知得，，

，，

.

则直线与平面所成角的正弦值为.

方法二：建立如图所示空间直角坐标系，

因为.

由已知，，，，

，

，，

设平面的法向量为，则有

，令，则.

即.

所以直线与平面所成角的正弦值.

方法三（等积法）：设2AF=AB=BE=2，为等腰三角形，AB=BC=2

∠FAB=60°，2AF=AB ，又AF//BE，.

由（1）知，，

，，

，，

又，则有.

令到平面距离为，有，

故所求线面角.