Question

已知a∈R，条件p：函数y=x²+（4a-3）x+

1

4

的图象与x轴有两个不同的交点，条件q：复数

a+i

1+i

在复平面上对应的点在第一象限．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：根据已知条件知p和q中一个为真命题，一个为假命题，所以分别讨论p为真命题，q为假命题，和p为假命题，q为真命题的情况．p为真命题时，需满足△=（4a-3）²-1＞0；q为假命题时，先把复数化成

a+1

2

+

1-a

2

i，则需满足

a+1

2

≤0，或

1-a

2

≤0，这样解不等式即可求出a的范围．对于另一种情况同样可求出a的范围，这两个a的范围求并即可．

解答： 解：p或q为真命题，说明p和q中至少一个为真命题；p且q为假命题，说明p和q中至少一个为假命题；
∴p和q中有一个为假命题，另一个为真命题；
复数

a+i

1+i

=

a+1

2

+

1-a

2

i；
∴若p为真命题，q为假命题，则：
（1）p为真命题时：（4a-3）²-1＞0，解得a＞1，或a＜

1

2

；
（2）q为假命题时：

a+1

2

≤0，或

1-a

2

≤0，解得a≤-1，或a≥1；
∴a的范围是：（-∞，-1]∪（1，+∞）．
若p为假命题，q为真命题，则：
（1）p为假命题时：（4a-3）²-1≤0，解得

1

2

≤a≤1；
（2）q为真命题时：

a+1 2 ＞0 1-a 2 ＞0

，解得-1＜a＜1；
∴a的范围是：[

1

2

，1)．
综上得a的范围是：{a|a≤-1，或a≥

1

2

且a≠1}．

点评：考查二次函数图象与x轴的交点和判别式的关系，复数的乘法运算，复数与平面直角坐标系中点的对应关系．