题目内容

设a，b均为正数，
（Ⅰ）求证：
ab
≥
2
1
a
+
1
b
；
（Ⅱ）如果依次称
a+b
2
、
ab
、
2
1
a
+
1
b
分别为a，b两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数．如右图，C为线段AB上的点，令AC=a，CB=b，O为AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，请分别用图中线段的长度来表示a，b两数的几何平均数和调和平均数，并说明理由．
（I）证明：由于a，b均为正数，根据基本不等式，可得
1
a
+
1
b
2
≥
1
a
×
1
b
=
1
ab
，即
ab
≥
2
1
a
+
1
b
，
当且仅当a=b时，等号成立．
（II）在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD2=AC•CB，
∴CD=
ab
，即CD长度为a，b的几何平均数，
在直角三角形OCD中，由射影定理可得CD2=DE•OD，
∴DE=
DC2
OD
=
ab
a+b
2
=
2
1
a
+
1
b
，由DC≥DE，得
ab
≥
2
1
a
+
1
b
，当且仅当a=b时，等号成立，
∴线段DE的长度分别为a，b的调和平均数．
练习册系列答案
相关题目
已知a＞0,b＞0,且a+b=1,试用分析法证明不等式≥.
若且，求证：
求证：质数序列……是无限的
数列{an}的前n项和Sn与an满足：Sn=1-nan（n∈N*），求{an}的通项公式．（注意：本题用数学归纳法做，其它方法不给分）
已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan（n∈N*）
（1）计算a1，a2，a3，a4；
（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
已知为虚数单位，，若是纯虚数，则的值为（ ）
A．-1或1B．1C．3D．-1
若，则复数的模是（   ）
A．B．C．D．
用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应是（   ）
A．成立B．成立
C．或成立D．且成立

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