Question

数列{a_n}的前n项和S_n与a_n满足：S_n=1-na_n（n∈N^*），求{a_n}的通项公式．（注意：本题用数学归纳法做，其它方法不给分）

Answer 1

由题意，a₁=S₁=1-a₁，∴a1=

1

2

=

1

1×2

a₂=S₂-S₁=（1-2a₂）-（1-a₁），∴a2=

1

6

=

1

2×3

猜想an=

1

n(n+1)

用数学归纳法证明如下：
（1）n=1时，结论成立；
（2）假设n=k时，结论成立，即ak=

1

k(k+1)

，
则n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=[1-（k+1）a_k+1]-[1-k•

1

k(k+1)

]，
∴ak=

1

(k+1)[(k+1)+1]

即猜想成立
∴an=

1

n(n+1)

成立．