题目内容

证明π是函数y=cos(sinx)的一个周期，并且π是函数y=cos(sinx)的最小正周期.

思路解析：对于三角函数来说，如果有f(x+T)=f(x)，则函数f(x)的周期为T，本题要证明π是函数y=cos(sinx)的周期，可以把π代入看它是否满足这一关系，若满足这一关系，即得证.

解：cos［sin(x+π)］=cos(-sinx)=cos(sinx)，

∴y=cos(sinx)是周期函数，π是它的一个周期.

假设T是函数的最小正周期，且0＜T＜π，那么对一切实数x，都有cos［sin(x+T)］=cos(sinx).

令x=0，得cos(sinT)=1.sinT=2kπ(k∈Z).

∵|sinT|≤1,

∴k=0,即sinT=0.

∴T=nπ(n∈Z)，这与0＜T＜π矛盾.

∴函数y=cos(sinx)的最小正周期不能小于π，即π是其最小正周期.

练习册系列答案
相关题目
给出下列命题：
（1）存在实数α，使sinαcosα=1；
（2）存在实数α，使sinα+cosα=
3
2
；
（3）函数y=sin(
5π
2
-2x)是偶函数；
（4）方程x=
π
6
是函数y=cos(x-
π
6
)图象的一条对称轴方程；
（5）若α，β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．
（6）把函数y=cos(2x+
π
12
)的图象向右平移
π
12
个单位，所得的函数解析式为y=cos(2x-
π
12
)
其中正确命题的序号是
 
．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
函数y=cos（x-
π
6
）（x∈[
π
6
，
2
3
π]）的最小值是
0
0
．
给出下列命题：
（1）存在实数α，使sinαcosα=1；
（2）存在实数α，使sinα+cosα=
3
2
；
（3）函数y=sin(
5π
2
-2x)是偶函数；
（4）方程x=
π
6
是函数y=cos(x-
π
6
)图象的一条对称轴方程；
（5）若α，β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．
（6）把函数y=cos(2x+
π
12
)的图象向右平移
π
12
个单位，所得的函数解析式为y=cos(2x-
π
12
)
其中正确命题的序号是 ______．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
给出下列命题:

①y=tanx在其定义域上是增函数;

②函数y=|sin(2x+)|的最小正周期是;

③函数y=cos(-x)的单调递增区间是［-π+2kπ,2kπ］(k∈Z);

④函数y=lg(sinx+)有无奇偶性不能确定.

其中正确命题的序号是_________________.

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