Question

【题目】如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，平面交于点，且平面.

（1）求证： ；

（2）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）连结，设与相交于点，连接，则为中点，根据线面平行的性质定理可得，从而证明为的中点，根据正三角形的性质可证明；（2）根据勾股定理可证明，结合，由线面垂直的判定定理可得平面，设的中点为， 的中点为，以为原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴， 所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得直线的方向向量为，再利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得结果．

试题解析：（1）证：连结，设与相交于点，连接，

则为中点，

∵平面， 平面平面

∴，

∴为的中点.

又∵为正三角形，

∴.

（2）∵，∴.

又，

∴.

又，∴平面

设的中点为， 的中点为，以为原点，

所在直线为轴， 所在直线为轴， 所在直线为轴，建立空间直角坐标系.

则， ，

∴.

平面的一个法向量，

.

所以直线与平面所成角的正弦值为.