Question

4．已知函数f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{6}$）+b（A＞0，ω＞0）的最大值为3，最小值为-1，其图象相邻两条对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式：
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）设α∈（0，$\frac{π}{2}$）f（$\frac{α}{2}$）＞2，求α的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的最值以及相邻两条对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$，确定A，ω和φ的值即可得到结论．
（2）根据三角函数的单调性即可得到结论．
（3）根据三角函数的性质解不等式即可．

解答 解：（1）∵函数的最大值3，最小值为-1，则A+b=3且-A+b=-1，解得A=2，b=1，
图象相邻两条对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$．
即函数的周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，即$\frac{2π}{ω}$=π，则ω=2，
即f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
即kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即函数的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（3）∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），f（$\frac{α}{2}$）＞2，
∴f（$\frac{α}{2}$）=2sin（α-$\frac{π}{6}$）+1＞2，
即2sin（α-$\frac{π}{6}$）＞1，即sin（α-$\frac{π}{6}$）＞$\frac{1}{2}$，
即2kπ+$\frac{π}{6}$＜α-$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即2kπ+$\frac{π}{3}$＜α＜2kπ+π，k∈Z，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴当k=0时，$\frac{π}{3}$＜α＜π，此时$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$，
即α的取值范围是（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．