题目内容
20．【参考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\bar x}）（{{y_i}-\bar y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\bar x}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n•\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n•{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\overline x$】假设关于某种设备的使用年限x（年）与所支出的修理费用y万元），有如下的统计资料：
| 使用年限 x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 维修费用 y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
（1）求回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（2）估计使用年限为10年时维修费用是多少．（参考数据：$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2=}{2^2}+{3^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}=90$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=}2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3$）
分析 （1）由题意求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$，代入公式求值，从而得到回归直线方程；
（2）代入x=10即可．
解答 解：（1）由表中数据可知$\overline{x}$=$\frac{2+4+5+6+3}{5}$=4，
$\overline{y}$=$\frac{2.2+3.8+5.5+6.5+7}{5}=5$；
$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2=}{2^2}+{3^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}=90$，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=}2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3$．
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n•\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n•{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{112.3-5×5×4}{90-5×{4}^{2}}$=1.23
∴$\hat a=\bar y-\hat b\overline x$=5-1.23×4=0.08．
故回归直线方程为$\widehat{y}$=1.23x+0.08．
（2）当x=10时，预报y的值为y=1.23×10+0.08=12.38．
答：估计使用年限为10年时维修费用是12.38．
点评 本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．
练习册系列答案
举一反三期末百分冲刺卷系列答案
相关题目
8．方程y=ax+b和y=bx+a表示的直线可能是（ ）
| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
15．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到数据如下：
（1）作出散点图；
（2）求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（3）预测加工10个零件需要多少小时？
注：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}{{\sum_{i=1}^n{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{a}$$\overline{x}$．
| 零件的个数x（个） | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 加工时间y（小时） | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（2）求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（3）预测加工10个零件需要多少小时？
注：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}{{\sum_{i=1}^n{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{a}$$\overline{x}$．