Question

17．设函数f（x）=ax²lnx-（x-1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．
（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x-1）²； 
（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x-1）²恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x²lnx+x-x²，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x-1）²； 
（2）设h（x）=x²lnx-x-m（x-1）²+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x-1）-2m（x-1）=（x-1）（3-2m）．然后对m分类讨论求解．

解答 （1）证明：由f（x）=ax²lnx-（x-1），得f′（x）=ax²lnx-（x-1）=2axlnx+ax-1．
∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，
∴a-1=0，得a=1．
则f（x）=x²lnx-x+1．
设g（x）=x²lnx+x-x²，（x≥1）．
g′（x）=2xlnx-x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，
∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x-1）²； 
（2）解：设h（x）=x²lnx-x-m（x-1）²+1，h′（x）=2xlnx+x-2m（x-1）-1，
由（1）知，x²lnx≥（x-1）²+x-1=x（x-1），
∴xlnx≥x-1，则h′（x）≥3（x-1）-2m（x-1）=（x-1）（3-2m）．
①当3-2m≥0，即m$≤\frac{3}{2}$时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（1）=0成立；
②当3-2m＜0，即m＞$\frac{3}{2}$时，
h′（x）=2xlnx+（1-2m）（x-1），h″（x）=2lnx+3-2m．
令h″（x）=0，得${x}_{0}={e}^{\frac{2m-3}{2}}-2$＞1，
∴当x∈[1，x₀）时，h′（x）＜h′（1）=0，
∴h（x）在[1，x₀）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．
综上，m$≤\frac{3}{2}$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用得到研究函数的单调性，对导函数进一步求导是关键，是中档题．