题目内容

12．过点（1，0）且与曲线y=$\frac{1}{x}$相切的直线的方程为4x+y-4=0．

分析 设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．

解答 解：设切点为（${x}_{0}，\frac{1}{{x}_{0}}$），
由y=$\frac{1}{x}$，得y′=$-\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴$y′{|}_{x={x}_{0}}=-\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
则切线方程为y-$\frac{1}{{x}_{0}}=-\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}（x-{x}_{0}）$，
把点（1，0）代入，可得$-\frac{1}{{x}_{0}}=-\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}（1-{x}_{0}）$，解得${x}_{0}=\frac{1}{2}$．
∴切线方程为y-2=-4（x-$\frac{1}{2}$），即4x+y-4=0．
故答案为：4x+y-4=0．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是明确切点是否在曲线上，是中档题．

练习册系列答案
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